domingo, 12 de febrero de 2017

Modelos de programación matemática

Los modelos de programación matemática son de tipo prescriptivo, ya que tienen como objetivo encontrar un valor óptimo (máximo o mínimo) de una función objetivo. La función es conocida y cierta, y las variables independientes son conocidas por el decisor y la vez pueden estar sujetas a un conjunto de restricciones.
Los modelos de programación matemática pueden o no ser de tipo lineal, dependiendo de la función objetivo y las restricciones.

Tienen tres componentes básicos:
1. Objetivo: máximo o mínimo
2. Variables de decisión: controlable por el decisor
3. Restricciones, que condicionan a los resultados.


Programación lineal

El modelo de programación lineal sirve para resolver problemas de asignación de recursos escasos. Un caso típico es el de determinar mezclas óptimas de productos que conlleven a contribuciones máximas, aunque también se presentan situaciones de aplicación a casos financieros, de inversión, de producción, de inventarios, de logística o de transportes.

Para resolver problemas que tiene más de variables de decisión, deberá aplicarse algún algoritmo de resolución. Para ello existen diversos software, comenzando por el común Microsoft Excel., que posee un complemento denominado Solver, especialmente diseñado para resolver problemas de optimización. Pero a medida que los problemas tienen más variables de decisión y más restricciones se requiere el uso de softwares más potentes, los cuales están disponibles para su adquisición

Un caso especial dentro de la Programación Lineal es la Programación Entera, en la que las variables de decisión deben asumir valores enteros.
Siguiendo con el ejemplo anterior, un caso típico lo constituye el de mezcla de productos con unidades de productos enteras. Para nombrar por ejemplo el caso de un modelo de programación lineal que arroja determina construir 2,75 edificios y 6,25 casas, la magnitud de los resultados financieros y de los recursos comprometidos impondrá la necesidad de lograr la solución óptima entera.
Otro importante uso es el de elección de opciones alternativas, para los cuales se emplean variables auxiliares binarias (0 o 1) que actúan con condiciones lógicas, ligándolas a variables de solución, de tal modo que si las variable binaria adquiere el valor cero la variable de decisión también lo haga, y de ese modo evitar soluciones inconsistentes. Por ejemplo supongamos el caso de costos fijos directos a cada producto; estos costos fijos aparecerán en la solución si el producto es fabricado (variable binaria 1) o viceversa.

Programación no lineal

Sin embargo, con frecuencia nos encontramos con problemas para los cuales las funciones no son lineales.
De acuerdo con Ercole, algunos de los supuestos que no se cumplen y determinan problemas no lineales son:
1. Aditividad. La suma de las contribuciones de algunas variables no determina el resultado. Por ejemplo cuando se unen substancia químicas, la suma de ,los volúmenes no necesariamente es igual al volumen de las dos substancias
2. Proporcionalidad. La función objetivo no es proporcional a los valores unitarios de las variables. Por ejemplo cuando demasiados operarios son asignados para realizar una tarea el rendimiento de cada trabajador puede disminuir, en lugar de mantenerse constante.
Es decir, diferentes tipos de relaciones (económicas, físicas, estructurales, etc.) pueden dar lugar a la aparición de características de no linealidad en un modelo.


Programación por metas y objetivos

La programación por metas y objetivos trata problemas en los que hay más de una función objetivo. Si bien se trata de funciones lineales, como no es posible satisfacer a todas, lo que se busca es establecer el conjunto de soluciones eficientes o Pareto óptimas.

Como ejemplo sencillo podemos citar el caso anterior, pero agregando como objetivo que se minimice la contaminación ambiental (contando con los datos contaminación producida por cada unidad de producto). En este caso, y suponiendo que la contaminación es mayor en el producto de mejor contribución, el decisor deberá emplear algún mecanismo que le permita seleccionar la alternativa que mejor satisfaga el conjunto de funciones objetivos, dado que la optimización simultánea de todos estos es usualmente imposible.
Bibliografía

ERCOLE, Raúl; ALBERTO, Catalina y CARIGNANO, Claudia. “Métodos Cuantitativos para la Gestión”. Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba, 2007.